MelvynFaith
003b2c544c
Soal 1: selisih Laplacian of Gaussian (sigma 0,1 dan 0,2). Soal 2: memecah teks menjadi karakter individual dengan regionprops. Soal 3: menghitung jumlah koin per ukuran dengan regionprops.
191 lines
8.1 KiB
Markdown
191 lines
8.1 KiB
Markdown
# Soal 1 — Selisih Laplacian of Gaussian (LoG)
|
||
|
||
Program: `soal1.py` · Input: `rom.jpeg` · Output: `im1.png`, `im2.png`, `hasil_selisih.png`
|
||
|
||
Cara menjalankan: `python soal1.py` (library: `numpy`, `pillow`, `scipy`)
|
||
|
||
Referensi teori: Gonzalez & Woods, *Digital Image Processing*, edisi ke-4 (Pearson, 2018).
|
||
|
||
## 1. Tujuan dan Asumsi
|
||
|
||
Soal meminta program yang menjalankan algoritma berikut:
|
||
|
||
1. Baca citra.
|
||
2. Terapkan filter LoG dengan simpangan baku σ = 0,1, simpan sebagai **im1**.
|
||
3. Terapkan filter LoG dengan σ = 0,2, simpan sebagai **im2**.
|
||
4. Hitung selisih kedua citra, simpan sebagai **citra hasil**.
|
||
|
||
Kelompok memakai nilai σ persis seperti tertulis di soal (0,1 dan 0,2 piksel). Seperti dijelaskan di bagian 4, kedua nilai ini jauh lebih kecil dari jarak antar-piksel, sehingga kernel LoG tidak terbentuk utuh dan ketiga citra output menjadi hampir identik. Bagian 4 menganalisis hal ini secara matematis dan membuktikannya dengan angka hasil program.
|
||
|
||
## 2. Alur Program
|
||
|
||
| Langkah soal | Kode di `soal1.py` |
|
||
|---|---|
|
||
| a. Baca citra | `Image.open(...).convert("L")`: citra dibaca lalu diubah ke grayscale bertipe `float64` |
|
||
| b. LoG σ = 0,1 → im1 | `im1 = terapkan_log(img, 0.1)`, disimpan sebagai `im1.png` |
|
||
| c. LoG σ = 0,2 → im2 | `im2 = terapkan_log(img, 0.2)`, disimpan sebagai `im2.png` |
|
||
| d. Selisih → hasil | `hasil = im1 - im2`, disimpan sebagai `hasil_selisih.png` |
|
||
|
||
Fungsi pendukung:
|
||
|
||
- `kernel_log(sigma, ukuran=9)`: membuat kernel LoG 9 × 9, lalu membuat jumlah elemennya nol.
|
||
- `terapkan_log(img, sigma)`: mengonvolusikan citra dengan kernel LoG.
|
||
- `normalisasi(a)`: menskalakan nilai ke 0–255 agar bisa disimpan sebagai citra 8-bit.
|
||
|
||
Selisih dihitung dari nilai **mentah** im1 dan im2, sebelum normalisasi. Jika dihitung dari citra yang sudah dinormalisasi, informasi skala dan tanda hilang dan selisihnya tidak lagi bermakna.
|
||
|
||
## 3. Dasar Teori
|
||
|
||
### 3.1 Laplacian (Bab 3)
|
||
|
||
Laplacian adalah operator turunan kedua yang isotropik:
|
||
|
||
```
|
||
∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²
|
||
```
|
||
|
||
Laplacian bernilai nol di daerah intensitas konstan dan memberi respons kuat di tepi dan detail halus. Kelemahannya, turunan kedua sangat peka terhadap noise.
|
||
|
||
### 3.2 Laplacian of Gaussian
|
||
|
||
Untuk mengurangi kepekaan terhadap noise, citra dihaluskan dulu dengan Gaussian, lalu diberi Laplacian. Karena konvolusi dan turunan sama-sama operasi linear:
|
||
|
||
```
|
||
∇²[G(x, y) ★ f(x, y)] = [∇²G(x, y)] ★ f(x, y)
|
||
```
|
||
|
||
Jadi cukup satu kernel, yaitu LoG = ∇²G. Kernel yang dipakai program:
|
||
|
||
```
|
||
LoG(x, y) = −(1 / πσ⁴) · [1 − (x² + y²) / 2σ²] · e^(−(x² + y²) / 2σ²)
|
||
```
|
||
|
||
Bentuk ini sama dengan bentuk ∇²G di buku, [(x² + y² − 2σ²) / σ⁴] · e^(−(x² + y²) / 2σ²), dikalikan konstanta normalisasi Gaussian 1/(2πσ²). Nilai σ menentukan skala: σ besar menghaluskan lebih kuat sehingga hanya detail besar yang terdeteksi.
|
||
|
||
Kernel LoG yang ideal berjumlah nol, sehingga respons di daerah konstan tepat nol. Kernel hasil sampling pada grid terbatas umumnya tidak tepat berjumlah nol, jadi program mengurangkan rata-rata kernel dari setiap elemen (`k -= k.mean()`).
|
||
|
||
Catatan: LoG sebagai detektor tepi (metode Marr-Hildreth) dibahas di Bab 10. Komponennya, yaitu Laplacian dan penghalusan Gaussian, sudah dibahas di Bab 3.
|
||
|
||
### 3.3 Konvolusi spasial (Bab 3)
|
||
|
||
```
|
||
g(x, y) = Σₛ Σₜ w(s, t) · f(x − s, y − t)
|
||
```
|
||
|
||
`convolve2d(..., mode="same", boundary="symm")` menghasilkan citra berukuran sama dengan input. Di tepi citra dipakai padding cermin, yaitu piksel tepi dicerminkan ke luar. Kernel LoG simetris, jadi konvolusi dan korelasi memberi hasil yang sama.
|
||
|
||
### 3.4 Penskalaan intensitas (Bab 2)
|
||
|
||
Output LoG berisi nilai negatif dan positif dengan rentang besar, jadi perlu diskalakan sebelum disimpan sebagai citra 8-bit:
|
||
|
||
```
|
||
f_m = f − min(f)
|
||
f_s = 255 · f_m / max(f_m)
|
||
```
|
||
|
||
Fungsi `normalisasi` menjalankan persis rumus ini.
|
||
|
||
## 4. Analisis: Kernel LoG dengan σ = 0,1 dan σ = 0,2
|
||
|
||
### 4.1 Kernel hanya bernilai di piksel tengah
|
||
|
||
Jarak antar-piksel adalah 1. Pada tetangga terdekat (r = 1), faktor Gaussian bernilai:
|
||
|
||
| σ | e^(−1/2σ²) di r = 1 | Nilai di pusat sebelum dikurangi rata-rata, −1/(πσ⁴) |
|
||
|---|---|---|
|
||
| 0,1 | 1,9 × 10⁻²² | −3183,10 |
|
||
| 0,2 | 3,7 × 10⁻⁶ | −198,94 |
|
||
|
||
Seluruh bobot Gaussian berada di piksel tengah. Kernel sebelum dikurangi rata-rata praktis berupa impuls: K ≈ c_σ · δ, dengan c_σ = −1/(πσ⁴).
|
||
|
||
### 4.2 Bentuk kernel ditentukan oleh langkah "jumlah = 0"
|
||
|
||
Setelah `k -= k.mean()`, setiap elemen dikurangi c_σ/81. Isi kernel 9 × 9 menjadi:
|
||
|
||
| σ | Pusat | Tetangga (r = 1) | Diagonal (r = √2) | Pojok |
|
||
|---|---|---|---|---|
|
||
| 0,1 | −3143,80 | 39,30 | 39,30 | 39,30 |
|
||
| 0,2 | −196,49 | 2,46 | 2,46 | 2,46 |
|
||
|
||
Kedua kernel hanyalah kelipatan dari matriks yang sama:
|
||
|
||
```
|
||
K_σ ≈ c_σ · (δ − J/81)
|
||
```
|
||
|
||
dengan δ = impuls di pusat dan J = matriks 9 × 9 berisi 1. Konvolusi dengan J/81 adalah filter rata-rata 9 × 9, sehingga:
|
||
|
||
```
|
||
im_σ ≈ c_σ · (f − f̄₉ₓ₉)
|
||
```
|
||
|
||
f − f̄ adalah *unsharp mask* (Bab 3): citra dikurangi versi kaburnya, yang menonjolkan detail lokal. Jadi im1 dan im2 sama-sama berupa unsharp mask 9 × 9 dengan skala berbeda, bukan LoG yang sebenarnya. Korelasi nilai mentah dengan (f − f̄₉ₓ₉) pada `rom.jpeg` membuktikannya:
|
||
|
||
| Citra | Korelasi dengan (f − f̄₉ₓ₉) |
|
||
|---|---|
|
||
| im1 | −1,0000000000 |
|
||
| im2 | −0,9999999986 |
|
||
| hasil | −0,9999999999 |
|
||
|
||
Tanda negatif berasal dari c_σ yang negatif.
|
||
|
||
### 4.3 Akibatnya pada selisih
|
||
|
||
Karena im_σ sebanding dengan 1/σ⁴:
|
||
|
||
```
|
||
im1 / im2 = (σ₂/σ₁)⁴ = (0,2/0,1)⁴ = 16
|
||
hasil = im1 − im2 = [1 − (σ₁/σ₂)⁴] · im1 = 0,9375 · im1
|
||
```
|
||
|
||
Hasil program sesuai dengan perhitungan ini. Median rasio im1/im2 = 16,002, dan median rasio hasil/im1 = 0,9375. Rentang nilai mentahnya:
|
||
|
||
| Citra | Minimum | Maksimum |
|
||
|---|---|---|
|
||
| im1 | −589.187,7 | 513.736,4 |
|
||
| im2 | −36.820,3 | 32.106,2 |
|
||
| hasil | −552.367,3 | 481.630,2 |
|
||
|
||
Normalisasi min-max menghapus faktor skala, sehingga ketiga citra yang disimpan praktis identik:
|
||
|
||
| Perbandingan (setelah normalisasi 0–255) | Korelasi | Piksel berbeda | Beda maksimum |
|
||
|---|---|---|---|
|
||
| im1 vs im2 | 0,9999973 | 2886 dari 1.440.000 | 1 tingkat abu-abu |
|
||
| im1 vs hasil | 0,99999999 | 16 dari 1.440.000 | 1 tingkat abu-abu |
|
||
|
||
Perbedaan kecil antara im1 dan im2 berasal dari sisa nilai Gaussian di r = 1 pada σ = 0,2 (sekitar 4 × 10⁻⁶) dan dari pembulatan ke 8-bit.
|
||
|
||
### 4.4 Ukuran kernel
|
||
|
||
Gonzalez & Woods menyarankan ukuran kernel LoG berupa bilangan ganjil terkecil yang ≥ 6σ. Untuk σ = 0,1 dan 0,2, aturan itu memberi kernel 1 × 1. Kernel 1 × 1 setelah dikurangi rata-ratanya bernilai 0, sehingga outputnya citra hitam seluruhnya. Karena itu program memakai ukuran tetap 9 × 9. Pada σ sekecil ini, ukuran kernel inilah yang menentukan bentuk hasil: hasil = unsharp mask dengan filter rata-rata seukuran kernel.
|
||
|
||
## 5. Hasil
|
||
|
||
Output program:
|
||
|
||
```
|
||
Korelasi im1 vs im2 : 0.9999973316611581
|
||
Korelasi im1 vs hasil : 0.9999999851773528
|
||
Selisih rata-rata im1 vs im2 (0-255): 0.0020041666666666667
|
||
Rentang nilai mentah im1 : -589187.7 s.d. 513736.4
|
||
Rentang nilai mentah im2 : -36820.3 s.d. 32106.2
|
||
Rentang nilai mentah hasil: -552367.3 s.d. 481630.2
|
||
```
|
||
|
||
| Citra input (`rom.jpeg`) | im1 (σ = 0,1) |
|
||
|---|---|
|
||
|  |  |
|
||
|
||
| im2 (σ = 0,2) | Citra hasil (im1 − im2) |
|
||
|---|---|
|
||
|  |  |
|
||
|
||
Ketiga output berwarna abu-abu rata dengan tepi dan detail yang menonjol, ciri khas unsharp mask setelah normalisasi. Daerah halus seperti langit bernilai sekitar abu-abu tengah, karena f − f̄ ≈ 0 di daerah tersebut.
|
||
|
||
## 6. Kesimpulan
|
||
|
||
- Program menjalankan langkah a–d sesuai soal dengan rumus LoG yang benar.
|
||
- Dengan σ = 0,1 dan 0,2 piksel, Gaussian jauh lebih sempit dari satu piksel. Kernel LoG yang disampling tidak lagi berbentuk LoG, melainkan unsharp mask 9 × 9 yang dikalikan −1/(πσ⁴).
|
||
- im1, im2, dan citra hasil hanya berbeda faktor skala (16 : 1 : 15), sehingga setelah dinormalisasi ketiganya praktis identik.
|
||
- Agar selisih LoG menunjukkan perbedaan antar-skala, σ perlu jauh lebih besar dari 1 piksel, misalnya σ = 1 dan σ = 2 dengan ukuran kernel ≥ 6σ.
|